Модельные представления аналитических решений краевых задач теории теплообмена на основе введения дополнительных граничных условий (31.05.2010)

Автор: Стефанюк Екатерина Васильевна

в первом приближении составляет 2,48 %.

и отличается от нее на некоторую (а в центре пластины на бесконечно малую) величину.

, характеризующая изменение температуры от времени в центре пластины (рис. 1).

Математическая постановка задачи для второй стадии процесса имеет вид

. Граничные условия

„Е`„Еa$gd\

????????дают. Таким путем происходит плавный переход от первой стадии процесса ко второй.

Как и в первой стадии, решение задачи (43), (44) разыскивается в виде полинома n-ой степени

находятся из граничных условий (44). После их определения и подстановки в (45) получаем

, т. е.

приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению

получаем

Соотношения (46), (49) представляют решение задачи (43), (44) в первом приближении. Отличие полученного решения от точного составляет 8 %.

могут быть найдены из дополнительных граничных условий, которые получаются аналогично методу, изложенному выше, и имеют вид

Соотношение (45) тогда будет

Подставляя (51) в (47), находим

Общее решение уравнения (52) разыскивается в виде суммы двух функций

 – общее решение соответствующего однородного уравнения.

Характеристическое уравнение для однородного уравнения будет

С учетом найденных частного и общего решений соотношение (53) принимает вид

Подставляя (55) в (51), находим

(найдено во втором приближении первой стадии процесса).

Расхождение решения (56) с точным не превышает 0,5 %.

Аналогично можно получить решение и в последующих приближениях.

4. В четвертой главе диссертации рассматриваются вопросы применения изложенного в третьей главе метода к исследованию моделей теплопроводности с переменными во времени граничными условиями и источниками теплоты.

Приведены результаты исследования следующих моделей:

? модель теплопроводности с переменной во времени температурой стенки (температура стенки ? линейная функция времени);

? модель теплопроводности с переменными во времени граничными условиями третьего рода (температура среды ? линейная функция времени);

? модель теплопроводности c переменными во времени коэффициентами теплоотдачи;

? c переменными во времени граничными условиями 2-ого рода (тепловой поток ? линейная функция времени);

? модель теплопроводности c переменными во времени внутренними источниками теплоты;

? модель теплопроводности c переменным начальным условием;

? модель теплопроводности с несимметричными граничными условиями.

Для каждой из рассмотренных задач приведены карты изотермических линий и графики скоростей движения изотерм.

в первом приближении первой стадии процесса имеет вид

будут изменяться лишь числовые коэффициенты.

5. В пятой главе диссертации рассмотрены наиболее сложные модели краевых задач, включая нелинейные задачи, решения для которых до сих пор не получены. С использованием метода, изложенного в третьей главе, приведены результаты исследования нелинейных моделей теплопроводности и моделей с переменными по пространственной координате физическими свойствами среды, точные аналитические решения которых в настоящее время не получены. И, в частности, приведены результаты исследования следующих моделей:

? нелинейная модель теплопроводности при линейной и степенной зависимости коэффициента температуропроводности от температуры;

? нелинейная модель теплопроводности с внутренними источниками теплоты;

? модель теплопроводности с экспоненциальной зависимостью коэффициента теплопроводности от пространственной координаты.


загрузка...