Резонансные явления при пространственных колебаниях нелинейных систем (29.06.2009)

Автор: Муницын Александр Иванович

в уравнениях (2) упущены. Далее будем рассматривать установившиеся колебания, что соответствует нулевым левым частям уравнений.

. Система имеет три решения:

Решения 1 и 2 описывают зависимость амплитуды от частоты свободных колебаний нити в плоскостях Оxz, Оxy. Третье решение представляет амплитудно-частотную зависимость пространственных колебаний нити, движение точек средней линии происходит по окружности в плоскости yz.

Подставляя в систему и линеаризуя полученные уравнения, определяем приращения неизвестных из системы

- вектор невязки на предыдущем шаге решения.

Таким образом, решение системы нелинейных уравнений (2) сводится к решению последовательности систем линейных уравнений (3). На каждом шаге вычислений контролируется величина невязки, и если относительная погрешность превышает заданную точность, то шаг варьируемой переменной уменьшается. В точках ветвления решений за независимый параметр принимается переменная, имеющая наибольшее по модулю приращение на предыдущем шаге, что позволяет найти все существующие решения и построить многозначные амплитудно-частотные и фазочастотные характеристики.

, где матрица G совпадает с матрицей, входящей в уравнение (3). Согласно теоремам об устойчивости по первому приближению знак действительной части всех собственных значений матрицы G позволяет сделать вывод об устойчивости решения. Поскольку матрица несимметрична, для решения проблемы собственных значений использовался QR-алгоритм.

При увеличении частоты возбуждения колебаний в точке (A4, B4) происходит срыв с плоской на пространственную форму движения. Затем в точке (A1, B1) пространственные колебания плавно переходят в плоские. При уменьшении частоты возбуждения в точке (A1, B1) плоские колебания плавно переходят в пространственные, при которых точки осевой линии нити описывают эллипсы в плоскости, ортогональной оси x. Дальнейшее уменьшение частоты приводит к срыву в точке (A3, B3) на плоскую форму движения нити.

Рис. 1. Зависимости амплитуд колебаний нити от частотной расстройки: а – в плоскости возбуждения колебании; б– в плоскости ортогональной возбуждению

Решение системы уравнений (1) получено также с учетом нескольких форм колебаний методом Бубнова–Галеркина. Результаты подтверждают все резонансные явления, выявленные в одномодовом приближении.

, задаваемой натяжным устройством в точке x=0. В первом приближении продольная деформация нити определяется известным соотношением

Тогда сила натяжения

Уравнения колебаний упругой нити при сохранении величин третьего порядка малости относительно перемещений в безразмерной форме имеют вид

. Граничные условия формулируются в следующем виде:

Краевая задача (4), (5) состоит из системы нелинейных дифференци-альных уравнений в частных производных относительно функций u, v, w и граничных условий, одно из которых нелинейное. Непосредственное применение метода Бубнова–Галеркина к данной задаче невозможно, поскольку нельзя подобрать базисные функции, удовлетворяющие нелинейному граничному условию. Функции перемещений по координате x (0<x<1) приближенно могут быть заданы в виде

. Еще одно уравнение получается в результате подстановки решения в нелинейное граничное условие (5).

=0,05. Кривая 1 соответствует плоским колебаниям, ее построение начиналось с достаточно малой частоты, и в процессе продолжения решения по различным параметрам обнаружено несколько точек ветвления решений. Принимая одну из этих точек в качестве начального приближения, построены кривые 2 и 3. Это решение соответствует пространственным колебаниям, при которых точки нити движутся по эллипсу. Кривые, соответствующие плоским и пространственным движениям нити, огибают соответствующую скелетную кривую.

Рис. 2. АЧХ упругой нити в плоскости Рис. 3. Зависимость максимальной силы

возбуждения колебаний (кривые 1-2) натяжения от частоты

и в ортогональной плоскости (кривая 3)

. По такой схеме нить движется в кольцепрядильных и крутильных машинах, при осевом сматывании нити с початка или бобины. При этом нить образует так называемый баллон вращения, в котором все точки нити движутся по окружности. Проведено сравнение результатов численного моделирования с экспериментальными результатами, полученными на лабораторном стенде.

Третья глава посвящена исследованию вынужденных колебаний стержня с близкими значениями собственных частот в двух взаимно перпендикулярных направлениях, вследствие несовпадения изгибных жесткостей стержня. Рассмотрены изгибные колебания стержня с неподвижными в продольном направлении опорами. Учитывается геометрическая нелинейность, обусловленная изменением длины средней линии стержня при его пространственном движении.

перемещения точек средней линии стержня. Предполагая отсутствие относительного продольного смещения опор, получаем

, диссипацию учитываем по моделям внутреннего и внешнего трения. Пространственные колебания стержня описываются уравнениями в безразмерных переменных:

Ограничимся случаем одномодового приближения и представим решение в виде

. Запишем полученную систему уравнений в виде

Система уравнений в медленных переменных имеет вид

в уравнениях (10) упущены. Далее будем рассматривать установившиеся колебания, что соответствует нулевым левым частям уравнений.

Заменой переменных

система уравнений (10) приводится к виду (звездочки далее упускаем)

решение имеет вид

и имеет вид

. (13)

, что соответствует возбуждению колебаний стержня в плоскости большей изгибной жесткости. Устойчивые решения показаны жирными линиями, скелетные кривые – пунктирными.

Рис. 4. Зависимости амплитуд колебаний стержня от частотной расстройки: а – в плоскости возбуждения колебаний; б – в ортогональной плоскости.

Из условий устойчивости решений определены координаты точки M:

. (14)

, в рассматриваемой системе возможны четыре режима колебаний. Это два движения в плоскости возбуждения колебаний с «большой» и «малой» амплитудами и два пространственных движения с вращением средней линии стержня в двух противоположных направлениях. Левее этой точки с уменьшением частоты возможны три, два и один режим колебаний.

, и все решения, соответствующие плоским колебаниям на кривой 2, являются неустойчивыми.

Численное решение системы уравнений (11) с учетом диссипации получено методом продолжения решения по параметру.


загрузка...