Математическое моделирование квазистационарных состояний упругопластических тел (28.12.2009)

Автор: Минаева Надежда Витальевна

Минаева Надежда Витальевна

Математическое моделирование

квазистационарных состояний

упругопластических тел

05.13.18 – Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

А В Т О Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Самара – 2010 Работа выполнена на кафедре высшей математики

ГОУ ВПО Воронежской государственной технологической академии

Научный консультант доктор физико-математических наук, профессор

Чернышов Александр Данилович

Официальные оппоненты

Доктор физико-математических наук, профессор

Ковалев Владимир Александрович,

Московский городской университет управления правительства Москвы

Доктор физико-математических наук, профессор

Сапронов Юрий Иванович,

Воронежский государственный университет

Доктор физико-математических наук, профессор

Блатов Игорь Анатольевич,

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Ведущая организация: ГОУ ВПО Московский государственный горный университет

Защита состоится «31» марта 2010 г. в 14-00 на заседании диссертационного совета Д 212.218.08 при ГОУ ВПО Самарский государственный университет по адресу: 443011, г. Самара, ул. Академика Павлова, 1, ауд. 505 м.

Автореферат разослан «___»__________ 2010г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.218.08,

к.ф.-м.н., проф. Зайцев В.В.

Актуальность темы. При теоретическом рассмотрении различных процессов задаются параметры и функции, определяющие свойства изучаемого объекта, а также характер внешних и внутренних воздействий. Если исследование проводится на основе некоторой математической модели, то предполагается, что полученное решение приближенно описывает поведение реального объекта, т.е. предполагается непрерывная зависимость решения от исходных данных. Под исходными данными будем понимать характеристики самого объекта и внешнего воздействия на него.

Фундаментальные основы для исследования данной проблемы содержатся в общем виде в теореме о неявных функциях функционального анализа. Известны частные случаи этой теоремы для конкретных видов операторов, приведенные в классической литературе, в которых исходными данными являются параметры. К работам по этому направлению можно отнести труды на основе статических критериев (В.В. Болотин, А.С. Вольмир, А. Н. Гузь, Д. Д. Ивлев, А. Ю. Ишлинский и др.), в которых анализируется поведение функции, характеризующей равновесное состояние системы. Исследованиям непрерывной зависимости решения от исходных данных на бесконечном интервале посвящены известные труды А. М. Ляпунова, И. Г. Малкина, О. Перрона, К. П. Персидского, Н. Г. Четаева и др., в которых изучаются дифференциальные уравнения, и анализируется устойчивость решения дифференциального уравнения по Ляпунову. В работах по теории катастроф (Р. Гилмор, М.Голубицкий и др.) непрерывная зависимость от исходных данных рассматривается для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции. К трудам по этому направлению можно отнести и исследования по математической теории управления (Л.С. Понтрягин, Ж.-Л. Лионс, В.А. Ильин, Е.И. Моисеев и др.), в которых используются методы математической теории устойчивости, теории катастроф. Из анализа работ следует, что вопрос о непрерывной зависимости решения, описывающего поведение механической системы при стационарных состояниях, от исходных данных, являющихся непрерывными функциями, рассматривался лишь в некоторых частных случаях.

В связи с этим дальнейшее развитие методов исследования непрерывной зависимости решений математических задач, описывающих квазистационарное состояние систем с распределенными параметрами, от исходных данных является актуальной проблемой.

В случаях, когда необходимо получить более точные решения, как правило, учитывают различного рода «несовершенства» изучаемого объекта. Найти точное решение такой задачи достаточно сложно, поэтому используются приближенные методы. Одним из них является метод возмущений, который нашел широкое применение в различных научных областях: прикладной математике, механике, гидродинамике, колебаниях, электрофизике, экономике и т.д. Для метода возмущений важное значение имеет вопрос о сходимости приближений, на что указывали многие исследователи (А. Найфе, М. Ван-Дайк, А. Ю. Ишлинский, Д. Д. Ивлев и др.). При решении задач методом возмущений вопрос об оценке погрешности метода рассматривался или в некоторых частных случаях (А. Пуанкаре, М. В. Келдыш, Ф. И. Франкль, И. Г. Малкин и др.), или путем сравнения с известными точными решениями (Л. А. Галин, Г. П. Черепанов и др.), поэтому дальнейшее изучение этой проблемы является актуальным. Помимо этого слабо разработано применение разложения по нескольким независимым параметрам.

Цель работы. Разработка условий для исследования математических моделей, учитывающих отклонения характеристик от осредненных значений, квазистационарных состояний упругопластических тел при потенциальных нагрузках.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

разработать новые математические модели квазистационарных состояний упругопластических тел с учетом отклонений характеристик тела от осредненных значений;

получить условия непрерывной зависимости от исходных данных решений обыкновенного дифференциального уравнения, дифференциального уравнения в частных производных, неразрешенных относительно старшей производной, а также вариационной задачи для функционала, зависящего от одной или нескольких переменных;

построить математическую модель линеаризованных граничных условий в напряжениях, заданных на подвижной границе;

получить критерии аналитичности по независимым малым параметрам решения обыкновенного дифференциального уравнения и уравнения в частных производных;

применить полученные условия для исследования математических моделей напряженно-деформируемого состояния некоторых упругопластических тел при комбинированном внешнем воздействии.


загрузка...