Электрон-фононные системы со спонтанным нарушением трансляционной симметрии (14.09.2009)

Автор: Мясникова Анна Эдуардовна

La2CuO4+y (0.156 [24] La2CuO4+y (0.143(0.005 [19]

ЧЕТВЕРТАЯ ГЛАВА посвящена изучению эффектов движения ПБР. Как было показано в главе 2, поле поляризации в ПБР находится в когерентном состоянии, поэтому его изменение со временем при движении полярона описывается классическими уравнениями движения. В этих уравнениях достаточно просто учесть пространственную дисперсию поляризуемости кристаллической решетки. Учет ее, как показывалось и ранее [35], необходим для анализа движения ПБР, так как в отсутствие пространственной дисперсии максимальная групповая скорость фононов равна нулю, так что фононный волновой пакет не может участвовать в движении ПБР, и движение ПБР даже с очень малой скоростью будет приводить к его разрушению.

, i=1,2, где ui – максимальная групповая скорость фононов i-й ветви. Тогда Гамильтониан системы среда плюс носитель заряда имеет вид

, (29)

где ( - оператор поля носителей, m* - эффективная масса "свободного" носителя в зоне проводимости, и нулевой уровень энергии соответствует дну этой зоны, Pi - вектор поляризации, связанный с i-й фононной ветвью. Член вида P1P2 в гармоническом приближении отсутствует. Удобно записывать уравнения движения поля поляризации не для вектора поляризации, а для плотности поляризационного заряда (i = - divPi , i = l, 2, связанной с каждой из двух фононных ветвей [A1,А4]:

, где (TO2 – частота поперечных оптических колебаний, соответствующих 2-й ветви.

Система уравнений движения (30) и (31) может быть решена прямым вариационным методом. Для этого необходимо минимизировать функционал

[A1], где неизвестные распределения поляризационного заряда (1(r,t) и (2(r,t) выражены через распределение заряда носителя при t=0 (2(r) и соответствующие функции Грина G1 и G2:

Для случая прямолинейного поступательного движения носителя с постоянной скоростью v функцию Грина уравнения (31) можно определить из уравнения:

В цилиндрической системе координат, ось z которой параллельна скорости носителя v, функция Грина Gi(r,t) имеет вид [42]

. При v>ui, но близких к ui, ?z много меньше радиуса полярона, поэтому интеграл (33) равен нулю. Следовательно, конденсат фононов i-й ветви (поляризационная “шуба” из фононов i-й ветви) не может сопровождать движение полярона со скоростью v>ui.

Пусть для определенности u1<u2. Тогда ПБР, скорость которого v<u1, имеет две поляризационные “шубы” из фононов обеих ветвей. Будем называть его двойным поляроном (ДП). Если условие адиабатичности выполняется для случая, когда носитель взаимодействует только с ветвью 2 (т.е. поляризационной “шубы”, соответствующей ветви 2, достаточно для поддержания автолокализованного состояния носителя), при средней скорости носителя заряда v из интервала u1<v<u2 он также находится в поляронном состоянии, но уже с одной поляризационной “шубой”, соответствующей 2-й ветви. Такой полярон назовем одинарным поляроном (ОП). При v>u2 сопровождать движение носителя заряда не может и вторая поляризационная “шуба”. Таким образом, поляронная зона оказывется ограниченной по импульсам и в случае среды с двухкомпонентной поляризацией имеет вид, изображенный на рис.4 [A1, A2].

Рис.4. Пример автолокализаци-онной зонной структуры носите-ля заряда в среде с двухкомпонентной поляризуемостью кристаллической решетки. По оси абсцисс отложен средний импульс носителя заряда. Его критические значения, соответствующие разрывам зоны, равны m*u1 и m*u2.

можно представить функцию Гамильтона в виде

Так как при учете (33) выражение для вектора поляризации имеет вид свертки:

легко получить, разложив обе части (34) в ряд Фурье. Эффективную “энергетическую” массу ПБР, рассчитанную по полученному таким образом выражению, как функцию скорости полярона при раличных значениях u демонстрирует рис.5.

, (=4(/(с(2), используется выражение (37).

Пример зависимости эффективной массы ПБР, рассчитанной в соответствии с полученными в диссертации выражениями, от скорости полярона приведен на рис.5. Как показывает рис.5, “энергетическая” и инертная эффективная масса полярона демонстрируют квазирелятивистскую зависимость от скорости полярона, где в качестве скорости света выступает максимальная групповая скорость фононов и [А12]. Отличие от релятивистской зависимости связано с тем, что размер полярона в направлении движения при v( и стремится не к нулю, а к конечному значению R. Отношение “размазки” за счет пространственной дисперсии u/( к квантовой «размазке» R определяет отличие массы полярона при v ( 0 от Пекаровской массы [2,32].

(кривые 3, 3', 3") от скорости полярона v для трех значений максимальной групповой скорости и фононов, участвующих в формировании ПБР. Кривые 1, 2, 3 соответ-ствуют и = 5 • 105 см с-1, кривые 1', 2', 3' — и = 106 см с-1, кривые 1", 2", 3" — и = 2 • 106 см с-1; остальные параметры среды: c=1/(* = 0.27, (= 6.78 • 1013 с-1, т* = me. Звездочкой на оси ординат показано значение Пекаровской эффективной массы MPek [2,32].

Далее в главе 4 исследуются эффекты когерентного квазичеренковского излучения волны поляризации, связанной с “низкоскоростной” ветвью [А1, А5], возникающего, как это видно из (35), (33), при движении одинарного полярона со скоростью v, u1<<v< u2. Это излучение тормозит движение полярона, обусловливая гигантские потери его энергии при движении в сильном электрическом поле. Впервые возможность подобных потерь вследствие электрон-фононного взаимодействия была предсказана Торнбером и Фейнманом [6] при использовании метода интегралов по траекториям, но механизм этих потерь не был определен вследствие специфики метода. В главе 4 потери на излучение на единицу длины пути рассчитаны с помощью функции Грина классического уравнения движения поляризационного поля [A5].

Для этого рассмотрено стационарное движение полярона в электрическом поле напряженностью E. Проекция силы торможения на направление движения (совпадающее с осью z) имеет вид:

, (38)

, (39)

? – малый положительный параметр, характеризующий затухание, его знак определяет соответствующее принципу причинности положение полюсов функции G(k).

2-u12)1/2/ ?1. Поэтому условие возникновения когерентного излучения фононов имеет вид

. Кривая 1 на рис.6 демонстрирует результат, полученный Торнбером и Фейнманом [6]. Различие в положении и высоте максимумов связано с различием использованных моделей, как это показывает кривая 3, рассчитанная в модели, приближенной к модели [6].

=0.07 эВ. Кривая 2 получена в соответствии с (38) для тех же параметров среды, что и кривая 1 (включая c2=0.357) и c1=0.03, u1=105 см/с, u>>u1. Кривая 3 рассчитана по выражению (38) для тех же параметров среды, что и кривая 2, кроме c1=с2 = 0.357, как это полагается в [6].

Экспериментально зафиксировать фононное излучение, порождаемое током поляронов, можно по рассеянию нейтронов [A14]. Оценка показывает, что относительное изменение импульса нейтронов с температурой порядка 1К в результате рассеяния их на когерентном фононном излучении будет заметным. Преимущественное направление рассеяния (направление волнового вектора излучения), как видно из (35), образует с направлением поляронного тока угол ?=arccos(u1/v) [A5]. Поскольку его величина зависит от равновесной скорости полярона, ее можно изменять, меняя напряженность приложенного поля. Так как только возрастающая часть зависимости E(v) соответствует устойчивому равновесию, именно эту часть необходимо использовать при определении необходимой напряженности поля.

. Энергия связи РБ для типичных параметров среды меньше энергии связи одноцентрового биполярона с корреляцией носителей заряда [44], но условие адиабатичности для образования РБ является менее жестким [A1].

)з/V0. Как показано в главе 4, зона поляронов сильно ограничена по импульсам: максимальный средний импульс носителя в ПБР равен т*и, где т* — эффективная масса носителя, и – максимальная групповая скорость фононов, участвующих в формировании ПБР. Во всех веществах с сильным электрон-фононным взаимодействием т*и<< р0.

Из-за ограниченности импульса ПБР ширина поляронной зоны много меньше энергии связи полярона Ep, так что энергия теплового движения поляронов не может быть большой, и их область существования должна быть ограничена по температурам. Из неравенства р0 >> т*и следует также вывод о существовании предельной, максимально возможной плотности поляронов в системе. В соответствии с принципом Паули в области пространства, занятой одним поляроном, другой носитель заряда может оказаться только со средним импульсом, большим р0 (без учета спинов). Но, так как р0 >> т*и, плотность поляронов в системе с учетом спинов не может превышать величину n0=2V0-1 . Конечно, это грубая оценка максимальной концентрации поляронов, так как она не учитывает их взаимодействие.

Возможность автолокализации накладывает ограничения и на заполнение нелокализованных состояний носителей. Нелокализованные носители с импульсами р < т*и не могут существовать даже в отсутствие поляронов в системе, так как они за время ?-1 (где ? — частота фононов, взаимодействие носителя с которыми приводит к его автолокализации) будут переходить в автолокализованные состояния. В системе с плотностью поляронов 2V0-1 не могут по принципу Паули существовать и нелокализованные носители с импульсами p из интервала т*и <р < р0, так как вся область с р < р0 одночастичного (для носителей) фазового пространства уже занята автолокализованными носителями. При стремлении же плотности поляронов к нулю число возможных нелокализованных состояний носителя с р < р0 в системе объема V будет стремиться к 2VV0-1 . Рис.7.Дисперсия носителей за- Т.е. число доступных для частиц состояний ряда в среде с их однофононной одного сорта зависит от числа занятых такими автолокализацией. Штрихами частицами состояний другого сорта [A15]. показана область нелокализован- Зависимость энергии носителя в такой системе ных состояний, которые запол- от его среднего импульса показывает рис.7. няются, если общая концентрация Удобно называть носители с р < р0

носителей меньше максимальной «холодными», а с р > р0 — «горячими».

концентрации ПБР n0. Тогда концентрацию п0 = 2V0-1 можно назвать

максимальной концентрацией холодных носителей. Возможность же существования любого горячего носителя никак не ограничена занятостью других состояний. Указанные свойства распределения носителей по состояниям должны быть адекватно отраженыв функции распределения. Но такой функции распределения до сих пор не было известно. Для ее построения в главе 5 используется метод Гиббса. Однако построение функции распределения на основе базиса, включающего состояния с определенной локализацией [A16], требует внесения изменений в этот метод, поскольку в обычной его реализации каждому состоянию приписывается определенная энергия.

Пусть носители в системе автолокализуются за счет взаимодействия с одной ветвью оптических фононов. Поскольку р0 >> т*и, любая скорость движения полярона v < и практически не влияет на область фазового пространства, занимаемую носителем этого полярона. Возможность же различной локализации полярона в кристалле объемом V является причиной существования 2VV0-1 различных (вне зависимости от среднего импульса носителя) поляронных состояний носителя в этом кристалле. Как уже указывалось, если поляроны занимают все 2VV0-1 состояний, то могут заполняться только нелокализованные состояния носителя с р > р0. В промежуточном случае холодные носители с импульсами р < р0 будут находиться частично в автолокализованном, частично в нелокализованном состояниях. То же самое можно сказать и о состояниях холодного фермиона в объеме V0. Этот объем в предельном случае может быть занят либо одним автолокализованным фермионом, либо одним нелокализованным, или, в общем случае, может быть частично занят локализованным и частично нелокализованным фермионом. При этом возможны два варианта: либо холодные фермионы в объеме V0 отсутствуют, либо этот объем занят одним холодным фермионом.

Будем рассматривать объем V0 ,содержащий N холодных фермионов, как

подсистему с переменным числом частиц по методу Гиббса. Тогда вклад первого варианта (N = N1 + N2 = 0) в условие нормировки будет иметь вид exp((/T). Рассматривая случай N = 1, мы должны учесть, что если состояния одного типа полностью заполнены, то состояния другого типа недоступны. Тогда вклад случая N = 1 в условие нормировки будет иметь вид [A16]:

где N2 — число нелокализованных холодных фермионов, E1(p) — энергия автолокализованного состояния, в котором средний импульс носителя равен р, E2(p) — энергия холодного делокализованного носителя с импульсом р: Е2(р) = Epol +p2/2m. Нулевой уровень химического потенциала совпадает с дном зоны автолокализованных фермионов. Возможность двух предельных и всех промежуточных состояний холодных фермионов учитывается интегрированием по N2 в интервале от нуля до единицы.

Таким образом, условие нормировки будет иметь следующий вид:


загрузка...