Математическое моделирование и оптимизация формы термоупругих тел (13.04.2009)

Автор: Павлов Сергей Петрович

есть разность между энергией от суммарного действия всех механических и тепловых нагрузок и суммы энергий реальных и сопряженных нагрузок, действующих отдельно

взаимная энергия может быть записана в более простой форме:

можно записать и в виде

, должны при этом удовлетворять следующим соотношениям:

Аналогичные соотношения для тепловой задачи определяются равенствами:

Как видно из (39), сопряженная задача становится связанной.

, полный вид которых здесь не приводится из-за громоздкости выражений.

распределяются тонкие слои термоизоляции и, следовательно, граничное условие на этих поверхностях может быть задано в виде линейной комбинации температуры и потока тепла.

задана. В безразмерных переменных распределение температуры в области описывается уравнением Рис.1

, (40)

с краевыми условиями

соответственно.

, такие, чтобы функция цели

была наименьшей при условии, что выполняются соотношения (40)-(41) и ограничение

задано соотношением

, удовлетворяющее условию (43).

???????????E

??????$?????ф???? ????????

????E ???????E

,Прямая и сопряженная задачи теплопроводности решались методом граничных элементов (МГЭ). Предварительно алгоритм и программа тестировались на известных результатах, полученных А.И. Уздалевым методом возмущений для двух видов двухсвязных областей с криволинейной границей. Для симметричных областей получено полное совпадение, для несимметричных - расхождение не превышает 1%.

Достоверность результатов, получаемых для задачи оптимизации тонкого слоя термоизоляции, подтверждается совпадением результатов одного из вариантов расчетов для односвязной области как по достигнутому уменьшению потерь тепла, так и по распределению толщины слоя термоизоляции с результатами R.A. Meric.

области при заданном расположении отверстия, при котором было получено наибольшее, на 22,7%, снижение потерь тепла по сравнению с равномерно распределенным слоем изоляции. При других рассмотренных формах отверстия и другом его местоположении выигрыш составлял от 3,1% (квадрат в центре) до 22,1% (узкая щель вблизи внешней границы).

В предыдущей задаче слой термоизоляции считался тонким, и его можно было учесть через Рис. 2

граничное условие. В общем случае необходимо рассматривать более сложную задачу.

(рис. 3), которая заранее неизвестна.

. В безразмерных переменных распределение температуры Рис. 3

описывается уравнением (40) с граничными условиями

, которые доставляют функции цели

, удовлетворяющих следующим условиям:

– невырожденная простая замкнутая кривая, имеющая конечную длину;

может быть задана в параметрическом виде:

Там же получено выражение для производной функционала (45):

– сопряженные поля, удовлетворяющие уравнениям:

для оптимального слоя термоизоляции должен быть постоянным на всей этой границе. В других случаях это условие может не выполняться.

В диссертации рассмотрено большое количество задач оптимизации внешней границы по критерию (45). Здесь приводятся результаты для трех из них.

В первом случае четвертая часть внешней границы зафиксирована (на рис. 4а она расположена сверху). На рис. 4а пунктирной линией изображена исходная квадратная область, сплошной линией – форма области после оптимизации. На рис. 4б показана зависимость значения потока тепла на внешней границе до (пунктирная линия) и после (сплошная линия) оптимизации. Выигрыш по критерию (45) для этой задачи составляет 47,8%. То есть потери тепла из внутренней области при оптимальном размещении термоизоляции уменьшились на 47,8%.

Заметим, что после оптимизации значение потока тепла на оптимизируемой границе практически выравнивается.

На рис. 5 приведена форма оптимальной области для случая, когда половина внешней границы зафиксирована. Наибольший выигрыш был достигнут, когда отверстие находится в противоположном углу от заданной границы. Для данной задачи потери тепла уменьшились на 30,6%.

Рис. 6

Если оптимизации подлежит вся внешняя граница, то, например, для области, показанной на рис.6, когда малая щель расположена в непосредственной близости у одной из внешних границ, потери тепла из внутренней области уменьшились на 48,3% по сравнению с исходной формой.


загрузка...