Приложения дискретного эргодического метода к арифметике бинарных и изотропных тернарных квадратичных форм (10.08.2009)

Автор: Пачев Урусби Мухамедович

Эти две основные теоремы 3.5 и 3.6, результаты которых содержатся в статье [1], дают полное решение вопроса об асимптотике числа примитивных представлений целых чисел произвольной целой изотропной формой как по областям на соответствующей гиперболической поверхности так и по классам вычетов по заданному модулю (исследованного другими специалистами не в самом полном виде).

. Но как показано в работе Е.П. Голубевой3) из результатов W. Duke невозможно вывести такой же закон распределения целых точек даже на простейшем однополостном гиперболоиде. При этом отметим также, что в работе W. Duke не рассматривалось распределение целых точек простейшего гиперболоида по арифметическим прогрессиям.

Всё это свидетельствует в пользу того, что ДЭМ ещё не исчерпал своих возможностей.

Перейдём теперь к описанию основных результатов главы IV диссертации, в которой содержатся новые применения ДЭМ к аналитической арифметике бинарных квадратичных форм. Что касается основных результатов главы IV, то такие асимптотические результаты не были получены или нашими, или зарубежными специалистами.

Первый основной результат этой главы представляет собой теорема перемешивания для гауссовых родов положительных бинарных квадратичных форм заданного определителя m. Чтобы ее получить строим поток классов гауссового рода через поток соответствующих им вектор-матриц нормы m >0:

– число гауссовых родов.

Сделаем нужные обозначения, прежде чем сформулировать основной результат второго параграфа главы IV.

дается равенством (2.22) гл. II).

Сначала доказывается эргодическая теорема 4.1 для классов гауссового рода, из которой выводится следующий основной результат §2, гл. IV (см. [5]).

нормы m (соответствующих приведенным формам гауссового рода) с числом элементов

– заданное число.

в цепочках потока (19) можно разбить на две категории:

, для которых

б) «плохие» индексы j, общее число которых

для которых не выполняется (21); постоянные, входящие в (21 и 22), зависят от q и e.

удовлетворяют условиям

обобщает часто цитируемый зарубежными специалистами результат Ю.В. Линника1) для случая g=1.

Следующим основным результатом главы IV является теорема 4.4, описывающая асимптотическое поведение числа классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа (см. [3]).

числа q.

– число различных простых делителей числа q; постоянные, входящие в асимптотическую формулу (24), зависят только от q.

, когда арифметический минимум классов гауссового рода G делятся на произвольное заданное нечетное число q.

Вполне возможно, что теорему 4.4 не удастся доказать другими аналитическими методами, используемыми в арифметике квадратичных форм.

Следующий основной результат диссертации, опубликованный в [4], значительно расширяет возможности приложения ДЭМ к арифметике бинарных квадратичных форм. Он касается асимптотического поведения числа бинарных квадратичных форм с условием делимости произведения крайних коэффициентов на заданное нечётное число (см. [4]).

которых удовлетворяют условиям

на нормированный гиперболоид.

Результат теоремы 4.7 дает решение в частном случае n=2 поставленного Ю.В. Линником общего вопроса о существовании решений одной системы диофантовых уравнений специального вида, удовлетворяющих предписанным сравнениям по модулю q.

Наконец, в § 5 главы IV подводится итог изучению асимптотического поведения числа приведённых целочисленных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов на заданное число (основные результаты опубликованы в [2]).

Впервые исследования по асимптотическому подсчёту числа классов положительных бинарных квадратичных форм с указанным условием были проведены Ю.В. Линником в связи с приложениями ДЭМ к вопросу о представлении целых чисел неопределёнными тернарными квадратичными формами.

Основными результатами главы IV являются теоремы 4.11 – 4.13, которые обобщают и уточняют результаты Ю.В. Линника и Б.Ф. Скубенко.

число целочисленных приведенных бинарных квадратичных форм определителя m, первые коэффициенты которых делятся на заданное нечетное число q.

Тогда при

– нечетное простое число.

-функции Дирихле.

Используемые в этих теоремах гипотезы, представляют собой ослабления расширенной гипотезы Римана для L-функции Дирихле.

, если не считать оценки (26), до сих пор не установлены, хотя в работе W. Duke получена безусловная оценка остаточного члена со степенным понижением в асимптотической формуле для числа целых точек на простейшем двуполостном гиперболоиде.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

1. Пачев У. М. Представление целых чисел изотропными тернарными квадратичными формами [Текст] // Известия РАН, Серия Математическая. -2006. -Т. 70. -№3. –С. 167-184.- 1,12 п. л.

2. Пачев У. М. Об асимптотике числа приведенных бинарных квадратичных форм с условием делимости первых коэффициентов [Текст] // Сибирский математический журнал. -2007. –Т. 48. -№2. –С. 376-388.- 0,81 п. л.

3. Пачев У. М. О числе классов гауссового рода, арифметический минимум которых делится на квадрат заданного нечетного числа [Текст] // Математические заметки. -1994.–Т. 55. -№2. –С. 118-127.- 0,62 п. л.

4. Пачев У. М. Асимптотическое распределение классов положительных бинарных квадратичных форм с условием делимости коэффициентов [Текст] //Фундаментальная и прикладная математика. -2005. –Т. 11. -№6. –С. 123-130.- 0,5 п. л.


загрузка...