Математические модели и методы исследований нелинейных радиотехнических систем в пространстве состояний (06.12.2010)

Автор: Мамонов Сергей Станиславович

Тогда система (2) является глобально асимптотически устойчивой.

получены значения, при которых выполняются условия теоремы 3 и система (2) является глобально асимптотически устойчивой.

Во второй главе рассматриваются математические модели системы ФАПЧ с операторным коэффициентом передачи фильтра нижних частот произвольного порядка. В параграфе 2.1 исследуется вопрос разрешимости матричных уравнений

, †††††††††††††††††††††††††††??

в виде экспоненциальной функции и в виде ряда. Имеющиеся способы решения матричных уравнений основаны на численных методах и в большинстве случаев находятся приближенно. Для точного решения матричных уравнений (6), (7) использован аппарат прямого произведения матриц и представление их вектор-столбцом. В монографии Х.Д. Икрамова уравнение (6) сводится к уравнению

уравнения (6).

. Тогда решение уравнения (6) имеет вид

, то решение уравнения (6) имеет вид

произвольный вектор.

В параграфе 2.2 рассматриваются многомерные математические модели системы ФАПЧ в пространстве состояний, получены условия существования предельного цикла второго рода, условия существования не менее двух предельных циклов второго рода.

, такие, что выполнены условия:

является гурвицевой.

Тогда система (2) имеет предельный цикл второго рода.

определяют границу инвариантного многогранника. Таким образом, результаты теоремы 5 определяют условия существования вращательных режимов системы ФАПЧ в случае операторного коэффициента передачи для фильтра нижних частот произвольного порядка и позволяют выявить область, содержащую предельные циклы второго рода.

, что справедливы утверждения:

Тогда система (2) имеет два предельных цикла второго рода, один из которых является седловым.

получены условия, при которых выполнены условии теоремы 5. Проверка условий теорем 5,6 сводится к решению системы нелинейных уравнений и анализу системы дифференциальных уравнений второго порядка.

Таким образом, в §2.2 предложен новый метод для определения условий существования вращательных режимов системы ФАПЧ в случае операторного коэффициента передачи для фильтра нижних частот произвольного порядка.

В параграфе 2.3 рассматривается поисковая система ФАПЧ (рис. 1).

Рис. 1. Поисковая система ФАПЧ

ЭГ – эталонный генератор; ФД – фазовый детектор; ФНЧ – фильтр нижних частот; ИЗ – индикатор захвата; СП – система поиска; С – сумматор; УЭ –управляю-щий элемент; ПГ – подстраиваемый генератор.

В книге В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина динамику поисковой системы ФАПЧ описывают дифференциальным уравнением вида

, (10)

, получены условия существования круговых решений системы (2). Математическая модель поисковой системы ФАПЧ не является глобально устойчивой, поэтому нахождение режимов синхронизации связано с определением областей притяжения и седловых предельных циклов второго рода. Особенностью математической модели поисковой системы ФАПЧ состоит в том, что она может иметь два седловых предельных цикла второго рода. Для коэффициента передачи фильтра нижних частот второго порядка предложен алгоритм определения трех предельных циклов второго рода, два из которых седловые. Для реализации алгоритма разработан комплекс программ на базе системы Maple.

В параграфе 2.3 определены условия существования седловых циклов для коэффициента передачи фильтра нижних частот произвольного порядка, в частности, для системы (2) справедливо следующее утверждение.

справедливы утверждения:

Тогда система (2) имеет седловой предельный цикл второго рода.

получены условия, при которых система (2) имеет седловой предельный цикл второго рода и определена область, содержащая цикл.

Рис. 2. Проекция седлового Рис. 3. Проекция седлового

предельного цикла второго рода предельного цикла второго рода

Таким образом, в §2.3 предложен новый метод определения условий существования седловых циклов математической модели поисковой астатической системы ФАПЧ. Разработан алгоритм и комплекс программ для нахождения нескольких предельных циклов второго рода. Предложен метод нахождения режимов синхронизации поисковой системы ФАПЧ.

. Для изучения системы (2) определяется вспомогательная система дифференциальных уравнений второго порядка

приводит к необходимости рассмотрения матричных уравнений

. Результаты, полученные для системы (11) и матричных уравнений (12), (13), используются для изучения многомерной системы (2). В параграфе 2.4 получены условия глобальной устойчивости и условия существовании предельных циклов второго рода системы (2).

В третьей главе рассматривается математическая модель системы частотно-фазовой автоподстройки частоты (ЧФАПЧ). В работах М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, Г.М. Уткина, Н.С. Жилина, В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина, В.В. Матросова, В.Д. Шалфеева показано, что динамика системы ЧФАПЧ описывается дифференциальным уравнением

, (14)

уравнение (14) сводится к системе дифференциальных уравнений

, (15)

-периодическая функция.

???????? появляется дополнительная область синхронных режимов, выявлены критерии глобальной асимптотической устойчивости, из которых следует, что добавление частотного кольца в систему ФАПЧ приводит к увеличению полосы захвата.


загрузка...