Математические модели и методы исследований нелинейных радиотехнических систем в пространстве состояний (06.12.2010)

Автор: Мамонов Сергей Станиславович

1. Предложен метод для нахождения условий существования двух предельных циклов второго рода для многомерных математических моделей систем ФАПЧ, один их которых является устойчивым, а другой седловым. Наличие седлового предельного цикла позволяет выделить дополнительную область притяжения состояний равновесия.

2. Разработан численный метод определения седловых предельных циклов второго рода математических моделей систем ФАПЧ. Предложен алгоритм определения двух предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

3. Предложен метод нахождения решения матричного уравнения Ляпунова, основанный на использовании прямого произведения матриц, который позволяет применять полученное решение для нахождения решения системы матричных уравнений, удовлетворяющего заданным свойствам. Знание вида решения системы матричных уравнений дает возможность с помощью функций Ляпунова получить оценку области притяжения для состояний равновесия моделей систем ФАПЧ.

4. Исследованы математические модели систем ФАПЧ в случае фильтра нижних частот специального вида. Показано, что вопросы существования предельных циклов второго рода и глобальной асимптотической устойчивости многомерных систем сводятся к изучению систем дифференциальных уравнений второго порядка специального вида и нахождению условий разрешимости системы двух матричных уравнений, одно из которых нелинейное. Для многомерных моделей поисковых систем ФАПЧ разработаны численные методы и алгоритмы определения двух седловых предельных циклов второго рода.

5. Разработан метод для нахождения условий существования предельных циклов второго рода для многомерных моделей систем ЧФАПЧ. Указаны условия существования трех предельных циклов второго рода, два из которых устойчивые, а один седловой. Предложен численный метод и алгоритм определения трех предельных циклов. Алгоритм реализован в виде комплекса программ.

6. Получены критерии глобальной асимптотической устойчивости многомерной модели системы ЧФАПЧ, основанные на изучении систем ЧФАПЧ второго порядка и нахождении условий для существования решений системы матричных уравнений. Показано, что найденные условия расширяют область значений параметров глобальной асимптотической устойчивости системы ЧФАПЧ. Установлено, что добавление частотного кольца увеличивает полосу захвата системы ФАПЧ.

7. Для математической модели системы ЧФАПЧ в случае фильтров нижних частот фазового и частотного кольца общего вида предложен метод определения условий существования предельных циклов и условий глобальной асимптотической устойчивости. Особенностью при изучении таких систем является то, что они сводятся к исследованию сложных систем второго порядка и нахождению решения системы матричных уравнений, одно из которых нелинейное.

8. Предложен метод для нахождения условий существования положительных и отрицательных предельных циклов второго рода для многомерной модели системы ЧФАПЧ с инвертированной нелинейной характеристикой частотного детектора. Показано, что использование инвертированной характеристики приводит к уменьшению полосы захвата. Приведены численные методы и алгоритмы определения четырех предельных циклов второго рода, что обусловливает формирование на выходе управляемого генератора системы ЧФАПЧ различных частотно-модулированных сигналов.

Теоретическая значимость. Результаты, полученные в диссертации, способствуют развитию методов исследования многомерных математических моделей систем ФАПЧ и систем ЧФАПЧ.

Практическая значимость. Результаты работы могут быть использованы при расчете систем фазовой и частотно-фазовой автоподстройки частоты, представляют интерес при изучении конкретных задач радиотехники, механики, биологии, химии, экономики, решение которых сводится к исследованию систем дифференциальных уравнений с цилиндрическим фазовым пространством.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзной конференции «Классические и не-классические краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения» (Куйбышев, 1987), Воронежской математической школе «Понтрягинские чтения VII» (Воронеж, 1996), 2-й, 8-й международных конференциях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 1996, 2008), 3-й Крымской международной математической школе «Метод функций Ляпунова и его приложения» (Симферополь, 1996), всероссийских конференциях «Качественная теория дифференциальных уравнений и её приложения» (Рязань, 2001, 2006), международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2004, 2007, 2008, 2009), 10-м международном семинаре «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008), Международной конференции «Колмогоровские чтения. Общие проблемы управления и их приложения» (Тамбов, 2009), на 14-й научной конференции по радиофизике (Нижний Новгород, 2010), 11-й Международной конференции «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2010), на семинаре по качественной теории дифференциальных уравнений (Москва, 1997), на семинаре Института математики АН Беларусь (Минск, 1998), на семинаре члена-корреспондента РАН В.А. Плисса (Санкт-Петербург, 1998), на семинаре члена-корреспон-дента РАН В.А. Якубовича (Санкт-Петербург, 1999), на семинаре Института системного анализа (Москва, 2000), на семинаре члена-корреспондента РАН Г.А. Леонова (Санкт-Петербург, 2008) на рязанских городских семинарах по качественной теории дифференциальных уравнений под руководством профессора М.Т. Терёхина (1988–2010) .

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 45 статьях, в том числе в 10 статьях в изданиях, внесенных в список ВАК. Список основных публикаций по теме диссертации приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и приложения. Диссертация занимает 414 страниц, 94 рисунка, приложение.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ведении обоснована актуальность выбранной темы исследования, раскрываются научная новизна и значимость работы, сформулированы цели исследования, дан обзор литературы, приведены результаты диссертации.

В первой главе рассматривается математическая модель системы фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ). В работах Н.С. Жилина, М.В. Капранова, В.Н. Кулешова, А.А. Ляховкина, Г.М., Уткина, В.Д. Шалфеева, В.В. Шахгильдяна, Б.И. Шахтарина показано, что динамика системы ФАПЧ описывается дифференциальным уравнением

операторный коэффициент передачи фильтра нижних частот.

, уравнение (1) эквивалентно системе дифференциальных уравнений

-периодическая функция, имеющая нули на периоде. Система (2) имеет бесконечное число состояний равновесия и определяет пространство состояний математической модели (1). Система ФАПЧ является системой с многофункциональными возможностями и используется для частотной модуляции и демодуляции, частотной фильтрации, умножения и преобразования частоты, выделения опорного колебания для когерентного детектирования и др. Система ФАПЧ может находиться в различных режимах, которым соответствуют математические модели, обладающие определенными свойствами. Для системы (2) используются следующие понятия.

стремится к одному из состояний равновесия.

стремится к одному из состояний равновесия.

. Режим биения соответствует появлению у системы (2) круговых решений. Среди асинхронных режимов выделяют режим вращательных движений системы ФАПЧ, соответствующий предельному циклу второго рода. Вращательные движения представляют интерес, так как они предшествуют режиму синхронизации и в этом случае систему ФАПЧ можно рассматривать как генератор модулированных колебаний. Наличие нескольких вращательных движений позволяет выделить в системе (2) область притяжения, определяющую начальные условия режимов синхронизации системы ФАПЧ. Для системы (2) формулируются следующие задачи: 1) найти условия существования предельных циклов второго рода, 2) найти условия существования нескольких предельных циклов второго рода и выяснить характер их устойчивости, 3) найти области притяжения системы (2), 4) найти условия глобальной асимптотической устойчивости.

Методам изучения систем вида (2) посвящены монографии Е.А. Барбашина, А.И. Баркина, Н.Н. Баутина, Л.Н. Белюстиной, В.Н. Белых, И.М. Буркина, А.Х. Гелига, Г.А. Леонова, Е.А. Леонтович, В.Б. Смирновой, В.А. Табуевой, Б.И. Шахтарина, А.И. Шепелявого, В.А. Якубовича.

достаточно полно исследована в работах А.А. Андронова, А.А. Витта, С.Э. Хайкина, Н.Н. Баутина, Е.А. Леонтович, Е.А. Барбашина, В.А. Табуевой, Г.А. Леонова, В.Б. Смирновой, Ф. Трикоми, М.В. Капранова, В.Н. Белых, Л.Н. Белюстиной, Б.И. Шахтарина, В.И. Некоркина, В.Д. Шалфеева и других авторов.

система (2) качественно-численными методами детально исследована в работах В.В. Матросова. Тем не менее, открытыми остаются вопросы нахождения условий существования нескольких предельных циклов и определения областей притяжения системы (2), причем для системы (2) порядка выше второго могут появиться седловые предельные циклы второго рода. Трудности нахождения условий существования седловых циклов многомерных систем связаны с невозможностью применения теоремы Брауэра. Для доказательства существования седловых циклов используется понятие вращения векторного поля. Наличие седловых предельных циклов второго рода позволяет выделить область притяжения состояний равновесия, определяющую для системы ФАПЧ условия режимов синхронизации. Для системы (2) получены результаты, представленные в теоремах 1,2.

Теорема 1 (1.4). Пусть для системы (2) выполнены условия:

2) система уравнений

Тогда система (2) имеет предельный цикл второго рода.

функций Ляпунова.

. Показано, что полученные условия теоремы 1 позволяют улучшить известные критерии существования предельных циклов второго рода.

Теорема 2 (1.6). Пусть для системы (2) выполнены условия теоремы 1 и справедливы утверждения:

Тогда система (2) имеет два предельных цикла второго рода, один из которых является седловым.

получены значения, при которых выполнены условия теоремы 2. Конструктивность теоремы 2 заключается в том, что она позволяет определить область фазового пространства системы (2), содержащую седловой предельный цикл второго рода. В диссертации приведены результаты численных экспериментов, подтверждающих, что система (2) имеет седловой предельный цикл в области, определяемой теоремой 2.

метод нелокального сведения “не работает”, но, тем не менее, для системы (2) получены условия существования двух предельных циклов второго рода.

Таким образом, в §1.3 разработан новый метод определения вращательных режимов математической модели системы ФАПЧ, впервые предложены конструктивные методы определения областей, содержащих седловые предельные циклы второго рода.

. Установлено, что в случае двух предельных циклов второго рода один из них является седловым.

. В работах В.В. Шахгильдяна, А.А. Ляховкина показано, что увеличение фильтрующей способности системы ФАПЧ ведет к снижению полосы захвата. Таким образом, потеря глобальной устойчивости системы, как показано в параграфе 1.5, приводит к появлению области притяжения, определяющей начальные условия режимов синхронизации, и может быть использована для увеличения фильтрующей способности системы ФАПЧ.

Использование метода нелокального сведения позволило получить условия глобальной асимптотической устойчивости системы (2).

, при которых выполнены следующие условия:

1) матричные уравнения


загрузка...