Прикладное математическое, алгоритмическое и программное обеспечение компьютерного анализа гибридных систем (06.04.2009)

Автор: Шорников Юрий Владимирович

№ RKF78 RKF78ST RKF78STP

2 564907 305709 59630

3 28859 16454 4403

4 944229 497836 18394

5 244898 131827 12696

6 191313 59281 19313

. Из сравнения результатов следует, что контроль устойчивости (RKF78ST) приводит к повышению эффективности расчетов почти в 2 раза по сравнению с классической схемой седьмого порядка точности (RKF78), а введение переменного порядка метода с контролем устойчивости (RKF78STP) позволяет увеличить эффективность в 5-10 раз.

Использование неравенства для контроля устойчивости фактически не приводит к увеличению вычислительных затрат, поскольку оценка максимального собственного числа матрицы Якоби системы (2) осуществляется через заранее вычисленные стадии и не приводит к росту числа вычислений правой части. Применение на участке установления методов низкого порядка точности с расширенными областями устойчивости позволяет значительно увеличить размер шага интегрирования без увеличения вычислительных затрат. На переходных участках, где определяющую роль играет точность вычислений, эффективными являются методы более высокого порядка точности, но с небольшой областью устойчивости.

Также в библиотеку методов ПК ИСМА включен 13-стадийный метод Дорманда-Принса с контролем устойчивости (DP78ST). Оригинальный метод Дорманда-Принса с контролем точности получил широкое распространение и включен в библиотеки известных зарубежных (MATLAB/Sfateflow, HyVisual.) и отечественных (MVS, AnyLogic) инструментальных средств моделирования ГС.

схемы (9), при которых метод имеет соответственно седьмой и восьмой порядок точности. Тогда для контроля точности схемы восьмого порядка можно использовать оценку (10). Аналогично (11) получено выражение

которое определяет оценку максимального собственного числа матрицы Якоби метода Дорманда-Принса (DP78ST). Тогда для контроля устойчивости метода DP78ST можно применять неравенство (7).

Поскольку и в рассмотренном методе FEL78ST, и в методе DP78ST используется 13-стадийная численная схема (9), то области устойчивости для методов одинаковых порядков точности будут также одинаковыми с интервалом устойчивости, равным пяти. Поэтому выбор шага в методе DP78ST будет отличаться только оценкой максимального собственного числа (12).

Из сравнения результатов расчетов, приведенных в диссертации, следует, что контроль устойчивости в DP78ST приводит к повышению эффективности расчетов почти в 2 раза по сравнению с классической схемой и не уступает лучшим мировым аналогам, например методу DVERK78 системы Maple 9.5.

. Фаза локализации обычно основана на методе дихотомии или алгоритмах, анализ которых приведен в настоящей главе. Как только событие локализовано, интегратор останавливается и происходит переход в новое локальное состояние. Хотя этот базовый метод зарекомендовал себя хорошо для многих задач, существуют ситуации, когда он склонен к сбоям (рис. 2).

Рис. 2. Нетривиальные ситуации обнаружения событий

. Похожая ситуация возникает когда множество значений событийной функции тонкое или имеет острые углы. В обеих ситуациях большинство стандартных методов могут дать сбой.

В своих работах L.F. Shampine и C.W. Gear продемонстрировали неэффективность, которая возникает если не использовать специальные методы управления шагом в задаче обнаружения событий. J.M. Esposito и V. Kumar предложили алгоритм управления шагом. Однако, в предложенном алгоритме при выборе шага, которым управляется процесс асимптотического приближения решения к границе режима, не учитывается критерий устойчивости методов численного интегрирования, что существенно важно в ГС с жесткими режимами.

Рассмотрим режим односторонней ГС в виде автономной задачи Коши с ограничениями

-мерная вектор-функция, зависящая от правой части задачи (2).

Теорема. Выбор шага по формуле

Рассмотрим явный двухстадийный метод Рунге-Кутты с постоянным шагом

матрицы Якоби системы (14) можно вычислить по формуле

Область устойчивости метода второго порядка, полученная в инструментальной среде ИСМА, приведена на рис. 3.

Рис. 3. Область устойчивости метода второго порядка

с учетом точности и устойчивости для метода второго порядка в соответствии с (8) вычисляется по формуле

Построен алгоритм выбора шага с учетом точности, устойчивости и динамики событийной функции в соответствии с (13) – (15).

Для иллюстрации работы алгоритма рассмотрена типичная гибридная система двух осциллирующих масс на пружинах. Система может находиться в одном из двух локальных состояний: «Раздельно» и «Вместе». Поведение системы в каждом из состояний описывается системой алгебро-дифференциальных уравнений типа (3).

имеем:

– общая жесткость пружин в состоянии «Вместе».

Результаты анализа в ИСМА с разработанным алгоритмом обнаружения (рис. 4, справа) совпадают с результатами приведенной в работе эталонной модели в системе HyVisual. Традиционный анализ системы без алгоритма обнаружения приводит к некачественным результатам (рис. 4, слева).

Рис.4. Динамика ГС двух масс

В шестой главе исследуются вопросы системного наполнения инструментальных средств и вопросы реализации системного и математического обеспечения. Исходя из сформулированных требований для реализации программного комплекса, разработана архитектура ПК ИСМА, представленная на рис. 5.

Рис. 5. Архитектура ПК ИСМА

Библиотеки численных методов и графических примитивов реализуются в виде отдельных программных модулей и загружаются соответствующими загрузчиками во время выполнения программы. Такой подход позволяет выделить некоторый набор функций и классов, необходимых для реализации библиотек примитивов и численных методов в виде API. Благодаря этому появляется возможность унификации и расширяемости системы ИСМА новыми методами и примитивами без перекомпиляции всей системы.

Структурно-символьная спецификация использует структурный и символьный подходы при описании ГС. Визуальное структурирование ГС отвечает традиционным требованиям описания, принятого в инженерной практике, а дополнение структур символьным описанием расширяет класс описываемых систем.

Программная модель на языке LISMA рассмотренной ГС двух масс

k1=1; k2=2; // жесткости пружин

n1=1; n2=2; // нейтральные координаты тел

m1=1; m2=1; // массы тел

x1=0;x2=3; // начальные координаты


загрузка...