Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике Г. Вейля (02.08.2010)

Автор: Долгарев Артур Иванович

в ЕД-пространстве.

, состоит из единичных одуляров касательной, главной нормали и бинормали кривой.

52.2.2. ТЕОРЕМА. Формулы Френе кривых одулярных галилеевых пространств

, определяются функциями:

в ЕМ-пространстве;

в ЕС-пространстве;

в ЕД-пространстве.

ее проекции на евклидову плоскость связаны соотношением

кривой ЕМ-пространства – соотношением

В пространстве Галилея и в ЕМ-пространстве кривые, имеющие постоянную кривизну и постоянное кручение, являются винтовыми линиями.

Для кривых ЕС- и ЕД-пространств не установлено зависимости между кривизной, кручением и кривизной ее евклидовой проекции.

евклидовы одуляры, то поверхность имеет евклидову касательную плоскость. Такие поверхности могут быть исследованы средствами евклидовой геометрии.

на евклидову плоскость ВО-пространства, векторное поле евклидовой плоскости.

Между одулярными поверхностями, имеющими галилеевы касательные одуляры, и векторными полями евклидовой плоскости в каждом из ВО-пространств имеется взаимно однозначное соответствие

евклидовой плоскости соответствуют различные по своим свойствам одулярные поверхности.

в естественной параметризации обладает касательной плоскостью, это галилеева плоскость, соответственно, ЕМ-плоскость. В ЕС- и ЕД-пространствах поверхность в естественной параметризации не обладает касательной плоскостью.

53.1.2. ТЕОРЕМА. В ЕС- и ЕД-пространствах существуют квазиплоскости – поверхности, определяемые двумя независимыми одулярами, порождающие весь одуль Ли соответствующего ВО-пространства.

Квазиплоскость, порожденная касательными одулярами поверхности, называется касательной поверхностью. Касательная поверхность поверхности ЕС-пространства описана в п. 42.2.

определяется равенством

определяется равенством

в пространстве Галилея;

в ЕМ-пространстве с однородным растраном;

Найдены поверхности постоянной нормальной кривизны.

53.3.3. ТЕОРЕМА. Полная (Гауссова) кривизна регулярной поверхности всех галилеевых одулярных пространств равна

Найдены поверхности постоянной полной кривизны в пространстве Галилея, в ЕМ- и ЕС-пространстве.

ВО-пространства такова

Эта квадратичная форма определяет галилееву метрику на поверхности и имеет то же выражение, что галилеева метрика ВО-пространства, п. 25.3. Вторая квадратичная форма поверхности есть

. Пусть

разложения одуляров производных второго порядка функции, задающей поверхность в естественной параметризации.

53.5.1. ТЕОРЕМА. Символы Кристоффеля поверхностей таковы: во всех ВО-пространствах

имеют значения

в пространстве Галилея,

в ЕМ-пространстве,

в ЕС-пространстве,

в ЕД-пространстве.

выполняются равенства

на поверхности (аналог теоремы Родрига).

Имеются зависимости между коэффициентами первой и второй квадратичных форм поверхностей одулярных галилеевых пространств и их производными.

53.6.1. ТЕОРЕМА. Формула Гаусса для полной кривизны поверхности такова:

в пространстве Галилея,


загрузка...