Некоммутативная геометрия галилеевых одулярных пространств в аксиоматике Г. Вейля (02.08.2010)

Автор: Долгарев Артур Иванович

УДК 514

ДОЛГАРЕВ Артур Иванович

НЕКОММУТАТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

ГАЛИЛЕЕВЫХ ОДУЛЯРНЫХ ПРОСТРАНСТВ

В АКСИОМАТИКЕ Г. ВЕЙЛЯ

01.01.04 – геометрия и топология

А в т о р е ф е р а т

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Казань – 2010

Работа выполнена на кафедре математики и суперкомпьютерного моделирования Пензенского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Фоменко Валентин Трофимович

доктор физико-математических наук,

профессор Мантуров Олег Васильевич

доктор физико-математических наук,

профессор Игнатьев Юрий Геннадьевич

Ведущая организация: Южный федеральный университет,

г. Ростов-на-Дону

Защита диссертации состоится 28 октября 2010 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу420008, г. Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета по адресу: 420008, Казань, ул. Кремлевская, 18, Казанский (Приволжский) федеральный университет.

Автореферат разослан ____ _______________ и размещен на сайте Казанского (Приволжского) федерального университета: www.ksu.ru

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д212.081.10 при КФУ

кандидат физико-математических наук,

Е.К. Липачев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В построении многих геометрий удобной оказалась векторная аксиоматика Г. Вейля. Эта система аксиом была предложена в начале прошлого века, легла в основу аффинной геометрии, евклидовых геометрий и римановой геометрии. Линейное и векторные пространства, на которые опирается аксиоматика Г. Вейля, являются коммутативными структурами. Получаемые на них геометрии также коммутативны.

. Одули на квазигруппах и лупах нашли применение в геометрических исследованиях. В одулярной тематике работает большое число математиков. Имеется несколько сотен публикаций, где исследуются свойства и приложения одулей на гладких квазигруппах и лупах.

Автор впервые определил одули Ли, задав внешние операции на группах Ли – умножение элементов групп Ли на действительные числа. Линейное пространство является коммутативным одулем Ли. Первым из некоммутативных одулей Ли определен растран в работе соискателя за 1986 год. Растран есть одуль на основной аффинной группе – группе параллельных переносов и гомотетий. При замене линейного пространства одулем Ли в векторной аксиоматике Г. Вейля аффинного пространства, получены вейлевские одулярные пространства – ВО-пространства.

Большой интерес представляет геометрия некоммутативных ВО-пространств, т.е. некоммутативный аналог аффинной геометрии.

Вводя норму на одуле Ли, получаем некоммутативную геометрию ВО-пространств с метрикой – аналог евклидовых геометрий и дифференциальную геометрию ВО-пространств. Соискатель ввел на одуле Ли галилееву норму и в основном построил некоммутативную галилееву геометрию 3-мерных одулярных пространств.

Интересны следующие ключевые вопросы научного и методологического характера.

Проблема 1. Аффинные свойства некоммутативных ВО-пространств. Связи одулярной геометрии с классическими аффинной и евклидовыми геометриями.

Проблема 2. Какими свойствами обладают кривые и поверхности ВО-пространств? Насколько далеко простирается аналогия с дифференциальной геометрией евклидова пространства? Определяется ли кривая 3-мерного ВО-пространства функциями кривизны и кручения, каковы кривые постоянных кривизн? Насколько существенна для поверхности нормальная кривизна, какую можно дать классификацию обыкновенных точек поверхности? Какова роль символов Кристоффеля, какими свойствами обладают геодезические линии на поверхности, что представляет собой внутренняя геометрия поверхности? Существуют ли аналоги формул Гаусса-Петерсона-Кодацци?

Поставленные проблемы решены в диссертации.

. Внутренние операции на всех указанных одулях определены в работах С.П. Гаврилова и использованы в хроногеометрии А.В. Левичевым . Внешние операции определены соискателем, см. монографию за 2005 год.

Аффинные преобразования аффинной плоскости составляют аффинный одуль Ли. Все перечисленные одули Ли представляются пододулями аффинного одуля Ли. Линейное пространство есть коммутативный одуль Ли параллельных переносов, однородный растран – одуль Ли на основной аффинной группе, другой вид растрана – одуль Ли движений псевдоевклидовой плоскости; сибсон есть одуль Ли движений галилеевой плоскости, осцилляторный одуль Ли – одуль движений евклидовой плоскости. Диссон и сибсон являются различными расширениями мультипликативного линейного пространства дуальных чисел.

Оказалось, что в некоммутативных ВО-пространствах существует два вида параллельности прямых. Всякие две точки определяют единственную прямую. Имеется только два вида одулярных плоскостей: аффинные плоскости и ЛМ-плоскости – это 2-мерные пространства с растраном. Только в аффинном пространстве и ЛМ-пространстве всякие три неколлинеарные точки определяют плоскость; в остальных ВО-пространствах существуют неколлинеарные точки, которые не определяют плоскость.


загрузка...